排列组合、概率问题与容斥原理
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Jun 26, 2024
一、排列组合 1.分类与分步：单独拿出一个步骤，如果可以完成这件事，就是分类；如
果不能完成这件事，必须所有步骤都完成，就是分步。
（1）分类：每一类都可以完成这件事。例：从 A 地到 B 地可以选择高铁
（3 种选择）、飞机（4 种选择）、私家车（5 种选择），问从 A 地到 B 有有
多少种选择？
答：每一种交通工具都可以从 A 地到 B 地，为分类，用相加：3+4+5=12。
（2）分步：每一步都完成，才算完成这件事。
例：从 A 地到 B 地需要经过 C 地中转，单独开私家车无法到达 B 地，分为
两步进行，必须先从 A 地到 C 地，再从 C 地到 B 地，只有每一步都完成，才能
从 A 到 B，为分步。
（3）例：每天早晨起来都是拥抱太阳，打开衣柜以后，有 2 件上衣、3
条裤子、2 双鞋，问今天的服装搭配有多少种。单独穿 1 件穿上衣或者 1 条裤
子或 1 双鞋，都无法完成穿衣服这件事，所以穿衣服这件事是分步，穿上衣、
裤子、鞋都要完成。
排列与组合：评判的依据是看调换顺序对结果有没有影响。
（1）排列：选取元素的顺序对于结果有影响，用 A 表示。
①常见于：排队、排序的题干环境。
②例：从大美圆、野狼志、鸡汤照、粤语涛、美食熙中，选出 2 人，第一
人教你言语，第二人教你数资。
答：假设选出的 2 人为鸡汤照、美食熙，先选鸡汤照教言语，后选美食熙
教数资，鸡汤照不擅长教言语，美食熙不擅长教数资，把顺序对调之后鸡汤照
擅长教数资，美食熙擅长教言语，对调顺序对结果有影响，用排列，用 A（5,2）。
（2）组合：选取元素的顺序对于结果无影响，用 C 表示。
①常见于：选人、确定名单的题干环境。
②例：从大美圆、野狼志、鸡汤照、粤语涛、美食熙中，选出 2 人，教你
学习。
答：从 5 个人中选 2 个人，要先知道选出来是干什么事，本题中的事是“教
你学习”，假设选出的 2 人为鸡汤照、美食熙，先选鸡汤照，后选美食熙，顺
序对调之后结果都是鸡汤照、美食熙陪你学习，即无影响，用组合，为 C（5,2）。
（2020 新疆）某美术馆计划展出 12 幅不同的画，其中有 3 幅油画、
4 幅国画、5 幅水彩画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且
油画不放在两端，问有多少种不同的陈列方式？
A.不到 1 万种 B.1 万～2 万种之间
C.2 万～3 万种之间 D.超过 3 万种
【解析】例 1.出现“必须连在一起”，为相邻问题，考虑捆绑法。已知“要
求同一种类的画必须连在一起”，将 3 幅油画捆绑，内部有顺序，为 A（3,3）；
同理，将 4 幅国画捆绑为 A（4,4）；将 5 幅水彩画捆绑为 A（5,5）。已知“油
画不放在两端”，油画只能在中间，要么国画在左、水彩画在右，要么水彩画在
左、国画在右，对调顺序对结果有影响，为 A（2,2）。先捆再排，分步用乘法，
所求=A（3,3）*A（4,4）*A（5,5）*A（2,2）=6*24*120*2=720*48＞3 万，对应
D 项。【选 D】
（2020 联考）某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏
分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观
看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有：
A.24 种 B.72 种
C.96 种 D.120 种
【解析】例 2.“某学员要先后学完这五个部分”，提示有顺序。出现“不
能连续进行”，为不相邻问题，考虑插空法。已知“观看视频和阅读文章不能连
续进行”，观看视频、阅读文章不能相邻。先排收藏分享、论坛交流、考试答题，
内部有顺序，为 A（3,3）；3 个部分形成 4 个空，从 4 个空中选出 2 个空，插入
观看视频、阅读文章，调换顺序对结果有影响，为 A（4,2）。先排再插，分步
用乘法，所求=A（3,3）*A（4,2）=6*4*3=72，对应 B 项。【选 B】
二、概率问题 1.基础概念：
（1）分类与分步：
①分类相加：要么……要么……。
②分步相乘：既……又……。
（2）排列与组合：看顺序调换后有无影响。
①有序排列（A）。
②无序组合（C）。
2.经典题型：
（1）枚举法：选项情况数少（10 种以内）。
（2）相邻问题：
①先捆：把要相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
②后排：把捆后的整体与其他元素进行排列。
（3）不相邻问题：
①先排：先把可以相邻的元素进行排列。
②后插：将不相邻的元素插入到空位中。
3.概率问题：正难反易。
（1）给情况，求概率：P=满足/全部。
（2）给概率，求概率：分类相加、分步相乘。
三、容斥原理 标准型：分开给出两两交集。公式：总数=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B
∩C+都不。先加和 A+B+C+都不，A∩B、A∩C、B∩C 都加了两次，都需要减去一
次；A∩B∩C 加了三次，减了三次，此时空了，需要加上一次；要做到不重不漏，
总数=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不。
非标准型：统一给出只满足两种情况。公式：总数=A+B+C-满足两项-2*
满足三项+都不。红色阴影部分是只满足两项的部分，先加和 A+B+C，红色阴影
满足两项的部分加了两次，减去一次；三者交集的部分加了三次（△），需要减
去两次；总数=A+B+C-满足两项-2*满足三项+都不。
【注意】容斥问题：不一定考查，但是考查概率很大。
1.公式法：
（1）所给/所求都为公式中的一部分。
（2）两集合：全部=A+B-A∩B+都不。
（3）三集合：
①标准：全部=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C+都不。分开给两两交集。
②非标：全部=A+B+C-满足两种-2*满足三种+都不。统一给只满足两种。
2.画图法：
（1）所给/所求出现“只 A”。
（2）步骤：
①第一步，画图。几个集合，画几个圈。
②第二步，标数。从交集标，不重不漏。
③第三步，加和。根据选项，观察尾数。
3.容斥最值：根据公式列式，分析最值情况。
1.数量关系：要清楚自己能做的题型是哪些，比如工程问题、容斥问题、方
程问题、套路题，这些题型都是可以掌握的，在刷题时针对性刷题，可以工程问
题连续刷 50 道，经济利润问题连续刷 50 道……，一天做 10 道，5 天做一个题
型。
2.资料分析：如果做资料分析慢、正确率不高、提升速度慢，如何有效提升？
（1）先把基础打牢，各种题型的公式、基本概念要熟记之后再刷题。
（2）判定题型慢：当题干特别长的时候，其实并不是题型难判别，只是本
题的主体比较长而已，本质上对于判定题型来说没有影响。要找判断题型的关键
字，比如出现“占”字，就确定为比重问题，再找部分、总体，如果判定题型和
找主体放在一起找，就容易混乱，从而找错数据。
①第一步：先找判定题型的关键字，增长+倍、占、平均。
②第二步：找主体的关键字。
③例：在粉笔年底年终奖增速最高的年份，长得最帅的数资老师其工资占其
收入的比重比长得最高的言语老师高了几个百分点？
读题：先找判别题型的关键字，看到“占”字，是比重问题。谁比谁高了多
少个百分点，是两个主体之间的百分点关系，百分点是由两个比重（百分数）作
差得来的，再对应材料找两个主体，最帅的数资老师是志哥，最高的言语老师是
熙熙，再找对应的数据即可。
（3）方法、技巧、习惯：在课堂上积累自己的做题技巧和习惯，这是提速
的关键。方法精讲上讲的是比较基础的知识点，在强化中会有一些提升。比如求
间隔基期，先求 r 间=17.6%+16.7%+17.6%*16.2%，间隔基期=2314/（1+r 间）。资
料分析一切都是从选项入手，假设选项差距大，分母保留两位，所以在求 r 间时
只 需 要 求 出 首 位 即 可 ， 大 致 看 一 眼 ， 不 需 要 具 体 计 算 出 是 多 少 ， r 间=17.6%+16.7%+17.6%*16.2%，大约是 30%出头的数，则间隔基期=2314/1.3。
（4）细化和复盘：让自己变得更加稳。每天做完题之后要做复盘日记，做
一套复盘的提升效果要远远大于做两套不复盘的提升效果，重点有三个内容：
①知识点：分析自己的薄弱知识点，进行针对性提升。
a.两期比重计算不会识别。
b.超过几倍到底和几倍去比啊。如 A 超过 B 的 5 倍，“超过”是大于的意思，
A＞B*5→A/B＞5，超过几倍就和几倍去比较。
②陷阱：分析自己掉入的陷阱。
a.又把基期当现期了，我了个去……。做题时一定要看清楚时间。
b.2011～2015 年，增长率＞10%的有几个，看 2011 年的得看 2010 年的基期，
记住记住，别再犯错了。
③习惯：听了一节模考课，原来平均数的倍数还可以这么做……。如平均数：
A/B÷（C/D），可以看 A/C÷（B/D）。
四、补充内容
