梳理课
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一、基础运算
1.何时用：
（1）题型：年龄、余数、多位数、不定方程。其中年龄、多位数用的时候
往往是纯代入，技巧性不多；余数、不定方程可能需要先排除（根据数字特性排
除），再代入。
（2）选项：选项信息充分，出现“分别”、“各”字样。
2.怎么用：
（1）先排除：大小、奇偶、倍数、尾数。
（2）再代入：
①最值原则：问最大，先代最大；问最小，先代最小。如果题目中出现正相
关，如前面的剩 20 的题目，代入的量大，剩的多，代入的量少，剩的少，则居
中代入；如果没有最值，也没有正相关，往往选 A 项和 B 项的概率比较大，出题
人考的不是计算，考的是能不能把题目梳理明白。
②从简原则：简单条件；好算选项。
3.代入逻辑：
（1）遇到矛盾，就排除。
（2）全部满足，就选择。
1.整除型：用的比较少。
（1）识别：题干所求 A，满足 A=B*C。当主体必须为整数，那么正常做，如
果主体可以不为整数，那么就猜。如：做一批零件，18 小时完成，则总量为 18*
效率，总量为整数，效率也是整数，所以总量为 18 的倍数，如果路程 S=VT，猜
S 是 V、T 的倍数时，就要小心，V、T 不一定为整数。
（2）方法：如果 B、C 均为整数，那么，A 能被 B 整除，且 A 能被 C 整除。
2.余数型：
（1）识别：平均分组，存在“剩余”、“缺少”。
（2）方法：多退少补，倍数特性。多→减去；少→加法。如：平均每人 3
个，还剩 2 个，总数-2=3 的倍数。
3.比例型：
（1）识别：题干存在“比例”，求“具体数”，优先考虑倍数特性。
（2）方法：
①看问法：找问题所求主体。
②化比例：化所求主体直接、间接比例。
③验选项：根据倍数特性选择。
1.如果列出的是一个方程：直接利用数字特性求解，尾数→奇偶→倍数→代
入。
（1）尾数是 0 或 5 的时候用尾数法，遇到 5 时乘以 2 转化为 0 分析。
（2）x、y 前面的系数一奇一偶的时候用奇偶，从偶系数入手分析。
（3）存在共同的因子时考虑倍数。
（4）前面三种方法都行不通，就代入。
2.方程组：根据未知数类型判断。
（1）必须为整数：
①消元：求谁留谁，一般消系数小的未知数，转化为一个不定方程。
②直接利用数字特性求解，尾数→奇偶→倍数→代入。
（2）不一定为整数：赋 0 法。
①让其中一个未知数为 0，最好为系数大的未知数。
②解方程组算出其他即可。
二、工程问题
1.完工时间型：
（1）识别：
①总量、效率、时间中，只给了时间具体量。
②两个及以上的完工时间，一个时间不行。
③完工时间：直接或间接，只要能推算出完成工作所需时间即可。
（2）方法：
①第一步，赋总量：赋值时间的最小公倍数，完工时间的公倍数。
②第二步，求效率：效率=总量/时间。
③第三步，再做题：根据工作过程列式。
2.效率比例型：
（1）识别：
①题干直接给出效率的比例关系。如：甲比乙多 1/4，甲/乙=5/4，可以赋
值甲为 5，乙为 4。
②两种工作方式完成相同的工作量，可推出效率比例。如：一项工程，甲 3
天乙 4 天可以完成，甲 2 天乙 6 天也可以完成，则 3 甲+4 乙=2 甲+6 乙，甲=2
乙，所以甲/乙=2/1。
（2）方法：
①第一步，赋效率：对应比例。
②第二步，求总量：总量=效率*时间。
③第三步，再做题：根据工作过程列式。
3.给具体单位型：
（1）识别：除时间外，效率或总量给出具体值。
（2）方法：
①设未知数。
②再做题→听话即可。
1.同时开始、同时结束。
（1）识别：多人一起做多个工程，同时开始，同时结束，中间无人休息。
（2）方法：
①先总体：确定总的工作时间，t=总量加和+效率加和。
②后分开：按人头分析工作量，问帮谁，就分析谁。如：问帮甲多少，甲负
责 A 部分，A 一部分是甲做的，一部分是帮他的丙做的，A 减去甲的时间*效率剩
下的就是丙的量，再除以效率就是时间。
2.牛吃草：
（1）识别：排比句式，有增长，有消耗。
（2）方法：
①草每天生长的量=（牛 1*天 1-牛 2*天 2）÷（天 1-天 2）。注意天 1-天 2
的顺序要一致，分子是天 1-天 2，那么分母也是天 1-天 2。
②原来草量=（牛-草每天生长的量）*天数。
三、经济利润问题
1.基础经济：
（1）公式：
①利润=售价-成本，多用于列式。有同学可能喜欢用赚-亏，但是尽量不要
用，因为有同学会只想到赚，没想到亏。
②利润率=利润/成本，资料分析中利润率是利润/收入。
③售价=成本*（1+利润率）。
④总利润=单个利润*数量。
（2）方法：
①给具体，求具体→列方程。
②给比例，求比例→赋值。赋值课上讲的不多，建议大家听一下专项课中的
赋值法。
2.分段计价：
（1）识别：不同标准，收费不同。给总用量，求总花费。
（2）方法：找分段点，按标准分开，加和汇总。
3.函数最值：
（1）识别：单价和销量此消彼长，问何时总价/总利润最高。如：原来卖 5
元，可以卖出 100 个，每增加 1 元，少卖出 10 个，设增加 x 次，5+1*x，100-10x，
令 5+1*x=0，100-10x=0，解得 x1=-5，x2=10，求平均数时，为最值，（-5+10）/2=2.5，
2.5 距离 2 和 3 的距离都一样，所以取哪个都可以；如果算出是 2.7，距离 3 较
接近，所以在 3 的位置最高。
（2）方法：
①设提/降价次数为 x，列式。
②两括号=0，求 x1，x2。
③平均数时，为最值。
四、行程问题
1.基础行程：
（1）考点 1：三量关系：S=vt。
（2）考点 2：等距离平均速度。
①应用环境：等距离、直线往返、上下坡往返。
②等距离平均速度=2v1v2/（v1+v2）。
2.相对行程：
（1）相遇：S 和=V 和*T。
①直线上：两端相向而行。
②环形上：同点背向而行，相遇 N 次，S 和=N 圈。
③直线多次：两端相向而行，相遇 N 次，S 和=（2N-1）S 单程。
④直线多次：同端相向而行，相遇 N 次，S 和=2NS 单程。
（2）追及：S 差=V 差*T。
①直线上：两端同向而行。
②环形上：同点同向而行，追上 N 次，S 差=n 圈。
（3）流水行船：
①v 顺水=v 船+v 水；v 逆水=v 船-v 水；v 船=（v 顺水+v 逆水）/2；v 水=（v 顺水-v 逆水）/2。
②静水速度=船速、漂流速度=水速。
五、几何问题
六、排列组合及概率问题
1.基础概念：
（1）分类与分步：
①分类相加：要么„„要么„„。
②分步相乘：既„„又„„。
（2）排列与组合：看顺序调换后有无影响。如：从 4 个人中选 2 个人组成
学习小组，先挑谁后挑谁对结果没有影响，用 C（4，2），从 4 个人中选 2 个人，
一个人打扫卫生一个人学习，谁先选出来谁打扫卫生，对结果有影响，不能用 C，
用 A（4，2）。
①有序排列（A）。
②无序组合（C）。
2.经典题型：
（1）枚举法：选项情况数少（10 种以内）。
（2）相邻问题：如：有五个人，A、B 要挨着，那么把 A、B 捆一起，考虑
内部关系用 A（2，2），再和另外三个人排列，为 A（2，2）*A（4，4）。
①先捆，把要相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。
②后排，把捆后的整体与其他元素进行排列。
（3）不相邻问题：如：有五个人，A、B 不相邻，则先把相邻的 3 个人排列，
为 A（3，3），3 个人产生了 4 个空，4 个空中选 2 个排就可以，A（3，3）*A（4，
2）。
①先排，先把可以相邻的元素进行排列。
②后插，将不相邻的元素插入到空位中。
3.概率问题：正难反易，如果正面考虑，情况数大于等于 3 种，那么反面考
虑。
（1）给情况，求概率：P=满足/全部。
（2）给概率，求概率：分类相加、分步相乘。
七、容斥问题
1.公式法：
（1）所给/所求都为公式中的一部分。
（2）两集合：全部=A+B-A∩B+都不。
（3）三集合：
①标准型：全部=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+都不。分开给两两交集。
②非标准型：全部=A+B+C-满足两项-满足三项*2+都不。统一给只满足两种。
2.画图法：所给/所求出现“只 A”。
（1）第一步，画图：几个集合，画几个圈。
（2）第二步，标数：从交集标，不重不漏。
（3）第三步，求和：根据选项，观察尾数。
3.容斥最值：根据公式列式，分析最值情况。
