数量规律

“数量规律”图形特征：（1）元素组成不同，且属性没规律（2）数量“特征图”明显

一、面数量

1.什么是面？白色的封闭区域

2.元素组成不同，什么时候数面？

（1）图形被分割、封闭面明显（2）生活化、粗线条图形

1.什么是面：白色的封闭区域。若将图 3 内部的白色部分涂黑，则为 0 个
面。图 2 不封闭，故没有面，图 1 有 1 个面。
2.元素组成不同，什么时候数面：
    （1）图形被分割，封闭面明显，出现“窟窿”。
    （2）生活化、粗线条图形留白。如“小太阳”中间明显留白，则考查数
面。生活化、粗线条图形也可考虑开闭性。

面的细化考法

1.所有面的形状。如图，两幅图都有 3 个面，图 1
所有面都是三角形，图 2 所有面都是四边形。
2.相同形状面的个数：
    （1）如图二，“小太阳”中明显出现很多相同的小元素，考虑相同形状面的
个数，依次为 3、4、5。
    （2）注意三角形，相同形状的面常结合三角形考查。
3.最大面的形状、属性。如第三行图，两幅图都有 7 个面，图 1 明显存在最
大面，从形状的角度考虑，最大面是矩形；从属性的角度考虑，可以考虑对称性
和曲直性。2019 年山东考查过最大面为中心对称图形，故联考可能考查最大面
为轴对称图形、轴+中心对称图形。不可能考虑最大面的开闭性，因为面一定是
封闭的，不存在开放的面。

二、线数量

1.什么是线？直线、曲线

2.元素组成不同，什么时候数直线/曲线？

1.什么是线：直线、曲线。在考试中一般是直线和曲线分开数，几乎不会
考查出现直线、曲线一起数的题目。
2.元素组成不同，什么时候数直线/曲线：
    （1）直线特征图：多边形、单一直线（用来“凑数”）。
    （2）曲线特征图：出现全曲线图形、圆、弧、椭圆、同心圆等，可以先
考虑曲直性，无规律再考虑曲线数。

线的特殊考点：笔画数

1.一笔画含义：在不重复的情况下，能够一笔画成的图形。如圆、五角星
比较简单，明显可以一笔画出来，但实际考试中，无需将每幅图都画出来，故
本节课学习如何用方法、技巧判断图形能否一笔画成。
2.“一笔画”同时满足两个条件：
    （1）线条连通：如两个分开的圆一定不能一笔画成。
    （2）奇点数为 0 或 2：奇点指发散出奇数条线的点。
        ①图二中，图 1 的蓝点发散出 2 条线（可以想象自己站在蓝点上，有 2 条
路可以走），2 不是奇数，该点不是奇点；图 2 的黄点发散出 3 条线（站在黄
点上，有 3 条路可以走），3 是奇数，该点是奇点；图 3 的绿点发散出 3 条线
（观察发散出几条线即可，不考虑直曲），3 是奇数，该点是奇点。
        ②图二中，图 3 标红的点也是奇点，因为红点发散出 1 条线，1 是奇数，
该点是奇点，故端点也是奇点。端点容易被遗漏，故当确定题目考查笔画数后，
数奇点时，优先数端点。
3.判断一笔画：如图三，每幅图均为连通图形，但只有图 1 的奇点数为 2，
可以一笔画成，图 2、图 3 均不是一笔画成。

1.笔画数=奇点数/2。如图形有 4 个奇点，4÷2=2，为两笔画图形。
2.任何图形的奇点数一定是偶数，能被 2 整除，数出奇数个奇点说明数错
了。
3.判断笔画：
    （1）图 1：左右两侧的点都发散出 4 条线，均不是奇点，该图形为连通
图，且奇点数为 0，故为一笔画图形。
    （2）图 2：先数内部上下的两个端点，外框左右两侧的点发散出 3 条线，
3 是奇数，这两个点均是奇点，该图形共有 4 个奇点，4÷2=2，为两笔画图形。
    （3）图 3：非连通图形，分开数笔画，再相加。外部的圆是一笔画，内
部的图形有 2 个奇点（发散出 3 条线），为一笔画图形，故整体为两笔画图形。
4.复杂图形可通过数奇点判定笔画数。若奇点数为 0 或 2，则为一笔画图
形；若奇点数为 4、6、8„„，将奇点数除以 2 即为笔画数。一般真题中最多
考查三笔画。

1.五角星：“墙头草”图形，可以考虑对称性，此时要看“队友”，若五
角星的“队友”都是“等腰”图形，优先考虑对称性；若其“队友”是“日”
“田”字变形，优先考虑笔画数。
2.“日”字变形图：一个框，内部有 1 条线将其分为 2 个面。
3.“田”字变形图：一个框，内部有 2 条线将框分为 4 个面。
4.圆相切/相交：只要是封闭的圆拼合在一起，形成的切点、交点都不是
奇点，故一定是一笔画图形。
5.出现明显端点：只有笔画数涉及端点，因为端点是奇点。若题干图形反
复出现端点，可以考虑笔画数。
6.以上讲解的特征图不是一笔画的特征图，而是特征图出现时会考查笔画
数，具体几笔画需要根据奇点判定。
7.笔画数特征图是根据历年真题总结而来的，遇到时优先考虑笔画数即
可。

三、点数量

1.什么是点：指线与线的交点。如图一，图 1、图 2、图 3 中标红的点是
交点，图 4 只有端点，不存在交点。
2.元素组成不同，什么时候数点：
    （1）线条交叉明显（大树杈）：若题干图形均为平行线，则不考虑数交点。
    （2）图形相切较多：切点也是交点。若图形明显相切的情况比较多，优
先考虑数切点；若只有极个别的图形出现相切，则考虑数交点。
3.特征图不是一一对应的关系，不是说一个特征图只能对应一个考点。笔
画数的特征图和交点数的特征图非常像，此时可“捆绑”记忆。若拿到题目先
想到数笔画，但笔画数无规律，此时可以考虑数交点；反之，若交点无规律，
则考虑数笔画。其实此时也比较好区分，如图二中的图 1，若考虑笔画数，奇
点太多，故考虑数交点。

四、角数量

1.前面已经讲解了面数量、线数量、点数量，均遵循 3 个逻辑，即“是什
么”、怎么想到、怎么细化考查（难点）。
2.角数量：近两年的考频越来越高。
    （1）含义：直线与直线交叉形成的是角，直线与曲线交叉形成的不是角。
在历年真题中，角不重复考查得更多，故角优先不重复数。先考虑简单情况，
再考虑复杂情况。
    （2）元素组成不同，考虑数角（锐角/直角）的情况：
        ①出现较多折线图：如图 2。
        ②线条之间垂直明显：如图 3 和图 4 的“十”字架和图 5 的直角三角形（横
平竖直的垂直关系）。若只有 1 幅图出现直角三角形，考查角的概率不大，但
当所有图形均出现直角三角形时，大概率考查直角三角形。

五、素数量

1.含义：素是指多个独立小图形、小元素，如上图。
2.做题思路：
    （1）优先考虑元素种类（长得一样算一种元素）和个数。如上图，元素个
数依次为 2、3、4，元素种类数依次为 1、2、3。
    （2）通过元素的种类和个数都选不出唯一答案，考虑找相同。可以在内部
找相同，也可以和其他图形之间找相同（如相邻两幅图之间都有 1 个相同小元
素）。如上图，内部相同的元素依次为四角星、圆、菱形。

1.含义：
    （1）多个独立小图形。
    （2）部分数（连在一起就是一部分）。前面讲解笔画数时已经涉及相关知识
点。如上图，左图的线条全部紧密相连，是 1 部分；右图的图形没有连着，中间
断开，分为“翅膀”和“机身”，是 2 部分。
2.特征图：生活化、粗线条图形。
3.梳理做题思路：出现生活化、粗线条图形，可考虑属性规律中的开闭性（如
银行标志）、对称性（不太可能考查曲直性），也可考虑数量规律中的面数量、部
分数。

六、总结

1.面数量：
    （1）图形特征：
        ①多边形被分割、“窟窿”明显。
        ②生活化、粗线条图形。
    （2）细化考点：所有面的形状（如三角形、四边形、很少考查五边形）、相
同形状面的个数、最大/最小面（形状、属性规律中的对称性和曲直性，因为面
一定是封闭的，故不考虑开闭性）。
2.线数量图形特征：
    （1）直线数：多边形、单一直线，如第二行图形。
    （2）曲线数：曲线图形。如第三行图形，曲线数依次为 1、2、3、4。
    （2）笔画数：特征图以及变形图较多，故“走投无路”时考虑笔画数。
3.点数量：与笔画数的特征图相似，无需区分，可以“捆绑”。
    （1）图形特征：线条交叉明显（大树杈）、乱糟糟一团线、相切较多。
    （2）点的细化：
        ①切点：相切较多。
        ②曲直交点：如果曲直交叉较多，是在构造曲直交点，考虑曲直交点。
4.角数量：
    （1）特征图：折线较多。
    （2）角的细化：垂直明显，如出现“7”、“十”字架，考虑直角数。
5.素：
    （1）小元素：出现多个独立小图形，先考虑小元素的种类、个数，再找相
同。
    （2）部分数：出现生活化、粗线条图形，可考虑属性规律中的开闭性、对
称性，也可考虑数量规律中的面数量、部分数